[Introduction]
양자역학에서 가장 간단한 계인 1차원 상자 속 입자문제입니다. 외울 것도 별로 없으니 풀이 과정과 eigenfunction/eigenvalue/Hamiltonian을 외워두시는 것을 추천합니다. 이 문제는 무한 포텐셜 우물안에 속박된 입자가 어떤 움직임을 보이는지 보여줍니다. Particle in a 1-D box는 conjugation system을 가진 hydrocarbon chain의 $\pi$ electron을 근사하는 모델이 될 수 있습니다(대표적으로 1,3-Butadiene이나 1,3,5-Hexatriene이 있겠네요).
[$Schr\ddot{o}dinger$ equation]
1차원 상자 속 입자의 퍼텐셜에너지는 다음과 같은 그림으로 이해할 수 있습니다.
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| Particle in a 1-D box model |
그런데 퍼텐셜에너지가 양의 무한대인 구간에서는 입자가 존재할 확률이 0이므로 무한 퍼텐셜 우물에서 퍼텐셜에너지가 0인 안쪽 구간 $0<x<a$에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 세워야 하겠죠!
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x), \quad E>0 \tag{1}$$
[General solution]
위 2차 미분방정식을 풀기 위해서 식을 전개해봅시다.
$$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-k^2\psi(x), \quad k \equiv \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \tag{2}$$
두 번 미분했을 때 자기 자신에 $-k^2$가 붙어서 나오는 함수에는 어떤 것들이 있을까요? $sin(kx)$와 $cos(kx)$가 있겠죠. 그래서 슈뢰딩거 방정식의 일반해를 다음과 같이 기술할 수 있습니다. (A와 B는 상수)
$$ \psi(x) = Acos(kx) + Bsin(kx) \tag{3}$$
[Boundary condition]
미분방정식의 일반해를 구한 후에는 boundary condition을 적용해주어야 합니다. 이 경우에는 $x=a, x=0$일 때 파동함수의 값이 0이 되어야 합니다.
$$ \psi(0)=A=0 \tag{4}$$
$$ \psi(a)=Acos(ka)+ Bsin(ka) = Bsin(ka) = 0 \tag{5}$$
이때, B도 0이 되면 파동함수 자체가 0이되므로 물리적으로 의미없는 결과를 얻게 됩니다. 따라서 $sin(ka)$가 0이 되어야 합니다. 이 조건을 만족하는 k값은 sin함수의 x절편 값을 생각해보면 쉽게 구할 수 있습니다.$$ ka= n\pi, \quad n=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \pm 3, \ \cdots \tag{6}$$$n=0$일 때 역시 파동함수가 0이 되므로 제외시키고, n값 중 양수만 취해보자. 물리적으로 의미가 있는 것은 파동함수가 아닌 $\lvert\psi(x)\rvert^2$ 이므로 양수만 취해도 크게 문제가 되지 않습니다. (2)와 (6)를 정리하면 (7)과 같습니다.$$ k =\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}=\frac{n\pi}{a}, \quad n=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \pm 3, \ \cdots \tag{7}$$
[Eigenvalue]
이제 (7)을 정리하면 energy eigenvalue를 구할 수 있습니다.
$$ E=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}=\frac{n^2h^2}{8ma^2}, \quad n=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \pm 3, \ \cdots \tag{8} $$
[Eigenfunction]
그리고, k값을 구했으니 wavefunction(eigenfunction)도 구할 수 있겠네요. (3), (4), (5), (7)을 정리하면 다음과 같습니다.
$$ \psi(x)=Bsin(\frac{n\pi x}{a}) \tag{9}$$
제가 《보른 해석》포스팅에서 언급했듯이 $ \lvert\psi(x)\rvert^2 $가 확률밀도함수가 되기 위해서는 반드시 normalization이 필요하다고 했었죠. 따라서, 다음 식이 성립해야 합니다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)^* \psi(x)\, dx =1 \tag{10}$$
이때 파동함수가 우물 밖에서는 0이므로 적분 범위를 $[0,a]$로 잡고 파동함수를 대입해준 후 식을 전개해주면 다음과 같습니다.
$$B^2\int_{0}^{a}sin^2(\frac{n\pi x}{a})\, dx = B^2\int_{0}^{a}\frac{1-cos(\frac{2n\pi x}{a})}{2}\, dx $$ $$= B^2[\frac{a}{2}-\frac{1}{2}\int_{0}^{a}cos(\frac{2n\pi x}{a})\, dx]=\frac{a}{2}B^2 =1 \tag{11} $$
마찬가지로 B도 양수만 취해줍시다.
$$ B =\sqrt{\frac{2}{a}} \tag{12}$$
마지막으로 이를 대입하여 wavefunction을 얻을 수 있습니다.
$$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(\frac{n\pi x}{a}), \quad n=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \pm 3, \ \cdots \tag{13}$$
[Conclusion]
eigenfunction과 eigenvalue를 정리하면 다음과 같습니다.
$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}=\frac{n^2h^2}{8ma^2}, \quad n=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \pm 3, \ \cdots $$
$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(\frac{n\pi x}{a}), \quad n=0, \ \pm 1, \ \pm 2, \ \pm 3, \ \cdots $$
에너지가 $n^2$에 비례하여 discrete한 분포를 보이고 파동함수 $\psi_n(x)$는 마디가 n-1인 sin함수의 형태(정상파)로 나타납니다. 보통 양자역학에서 파동함수의 마디 수가 증가하면 에너지준위가 증가하는 경향을 보입니다. 에너지 준위와 파동함수를 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.
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| Eigenvalue / Eigenfunction 출처: 위키피디아 |
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