[Introduction]
코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)은 1900년대 초 많은 양자역학의 실험 결과와 현상을 설명하기 위해 그 당시 코펜하겐에 모여 양자역학을 연구하던 많은 과학자들이 제안한 해석체계 중 하나입니다. 1900년대까지 과학자들의 압도적인 지지를 받았으나 최근에는 다세계 해석(Many World interpretation)도 상당한 지지를 받고 있다고 합니다. 따라서, 코펜하겐 해석은 현재까지 양자역학의 해석체계에서 지지율 1위자리를 고수하고 있지만 추후 연구결과에 따라 다른 해석체계가 채택될 가능성도 있습니다.
[Copenhagen interpretation]
이전에 포스팅했던 『양자역학의 공준』이 이 코펜하겐 해석에 바탕을 두고 있습니다. 코펜하겐 해석에는 파동함수의 의미, 불확정성 원리, 관측가능량, 상보성 원리, 파동함수의 붕괴, 고전역학과 양자역학을 이어주는 대응 원리, EPR역설과 관련있는 비국소성 원리, 그리고 이번 포스팅에서 다룰 보른 해석이 있습니다.
[Born interpretation]
보른 해석은 한마디로 표현하자면 파동함수의 절댓값의 제곱 $\lvert\psi\rvert^2$이 확률밀도함수(probability density function)이라는 겁니다. 파동함수는 $\psi(x)$,$\psi(x,y,z)$와 같이 어떤 위치에 대한 함수입니다. $\lvert\psi\rvert^2$ 역시 위치에 대한 함수가 되겠죠. 공간은 "연속"하기 때문에 이것을 확률분포라고 해석한다면 당연히 이산확률분포가 아닌 연속확률분포로 보아야합니다. 즉, $\lvert\psi\rvert^2$을 확률밀도함수로 보아야 하는 것이죠!
이때 확률밀도함수의 정의에 따라 다음이 성립해야합니다.
$$\lvert\psi\rvert^2 \geq 0 \tag{1}$$
절댓값의 제곱이니 이건 뭐 자명하네요.
그리고 특정 미소 공간 $d\tau$에서 입자가 존재할 확률은 $\lvert\psi\rvert^2 d\tau$가 됩니다. 1차원 공간의 [a,b]구간에서 확률은 다음과 같이 표현이 가능하죠. $$\int_{a}^{b} \lvert\psi(x)\rvert^2 dx $$ 적분구간 $(-\infty, \infty)$으로 하면 확률이 어떻게 될까요? 모든 경우에 대한 확률의 합은 1이 되니까 1이 되겠죠! 확률밀도함수의 정의에 따라 다음 식도 성립해야합니다. $$\int_{-\infty}^{\infty} \lvert\psi(x)\rvert^2 dx =1 \tag{2}$$ 위 식이 성립할 때 파동함수가 normalization(정규화 or 규격화)되어있다고 말합니다. 파동함수는 슈뢰딩거방정식(미분방정식)의 해인데 보통 규격화가 되어있지 않은 상태로 얻어지죠. 반드시 normalization을 해주어야 파동함수의 절댓값의 제곱 $\lvert\psi\rvert^2$을 확률밀도함수로 해석할 수 있다는 것을 반드시 기억해주세요!
[Intuitive approach]
왜 파동함수의 절댓값의 제곱이 입자가 존재할 확률밀도로 해석할 수 있는 걸까요? 직관적으로 한번 접근해봅시다. 먼저 고전역학에서 "파동의 세기(시간당 에너지밀도:P)는 파동의 속력(v), 각진동수의 제곱($\omega^2$)과 진폭의 제곱($A^2$)에 비례한다"고 설명합니다. $$ P \propto v\omega^2A^2 $$ 이때 진동수와 파동의 속도에 관련된 항을 시간당 에너지의 이동과 관련된 것이라고 생각해보면 결국 진폭의 제곱은 어떤 밀도와 관련되어 있어야한다고 직관적으로 추측할 수 있지 않을까요?
양자역학에서는 물질파 이론에 따라 입자를 파동함수로 기술합니다. 파동함수 절댓값의 제곱$\lvert\psi\rvert^2$은 무엇이 될까요? 바로 진폭의 제곱입니다. 그런데 앞에서 진폭의 제곱은 어떤 밀도와 관련이 있다고 말했습니다. 바로 입자가 특정 지점에서 존재할 확률밀도가 되는 것이죠.
[Collapse of the wavefunction]
관측이라는 행위가 일어나면 파동함수 $\psi$는 붕괴됩니다. 예를 들어, electron의 위치를 관측하여 $x=x_0$에서 발견했다면 원래 파동함수가 붕괴되어 그 지점에서 디락델타함수 $\delta(x-x_0)$로 나타납니다. 이때 $\lvert\psi\rvert^2$ 역시 디락델타함수로 나타나겠죠. 즉, 관측 이전에 입자는 공간 위에 존재할 확률로 표현되다가 관측이라는 행위가 일어나면 그 위치에서 나타나는 것이죠. 그렇다면 '관측'이란 무엇인가? 관측 이전에 입자는 존재하지 않는 것인가? 라는 질문을 하실 수 있겠죠. 답은 "모른다"입니다. 최근 21세기 들어서 '관측'이라는 행위에 대한 재해석 및 수정이 가해졌고 관측 이전의 실재성을 설명하는 해석에는 '숨은 변수 이론', '다세계 해석' 등이 있지만 결국 이론 또는 가설에 불과하기 때문에 무엇이 정확히 맞다라고 단정지을 수 없는 상황입니다.
코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)은 1900년대 초 많은 양자역학의 실험 결과와 현상을 설명하기 위해 그 당시 코펜하겐에 모여 양자역학을 연구하던 많은 과학자들이 제안한 해석체계 중 하나입니다. 1900년대까지 과학자들의 압도적인 지지를 받았으나 최근에는 다세계 해석(Many World interpretation)도 상당한 지지를 받고 있다고 합니다. 따라서, 코펜하겐 해석은 현재까지 양자역학의 해석체계에서 지지율 1위자리를 고수하고 있지만 추후 연구결과에 따라 다른 해석체계가 채택될 가능성도 있습니다.
[Copenhagen interpretation]
이전에 포스팅했던 『양자역학의 공준』이 이 코펜하겐 해석에 바탕을 두고 있습니다. 코펜하겐 해석에는 파동함수의 의미, 불확정성 원리, 관측가능량, 상보성 원리, 파동함수의 붕괴, 고전역학과 양자역학을 이어주는 대응 원리, EPR역설과 관련있는 비국소성 원리, 그리고 이번 포스팅에서 다룰 보른 해석이 있습니다.
[Born interpretation]
보른 해석은 한마디로 표현하자면 파동함수의 절댓값의 제곱 $\lvert\psi\rvert^2$이 확률밀도함수(probability density function)이라는 겁니다. 파동함수는 $\psi(x)$,$\psi(x,y,z)$와 같이 어떤 위치에 대한 함수입니다. $\lvert\psi\rvert^2$ 역시 위치에 대한 함수가 되겠죠. 공간은 "연속"하기 때문에 이것을 확률분포라고 해석한다면 당연히 이산확률분포가 아닌 연속확률분포로 보아야합니다. 즉, $\lvert\psi\rvert^2$을 확률밀도함수로 보아야 하는 것이죠!
이때 확률밀도함수의 정의에 따라 다음이 성립해야합니다.
$$\lvert\psi\rvert^2 \geq 0 \tag{1}$$
절댓값의 제곱이니 이건 뭐 자명하네요.
그리고 특정 미소 공간 $d\tau$에서 입자가 존재할 확률은 $\lvert\psi\rvert^2 d\tau$가 됩니다. 1차원 공간의 [a,b]구간에서 확률은 다음과 같이 표현이 가능하죠. $$\int_{a}^{b} \lvert\psi(x)\rvert^2 dx $$ 적분구간 $(-\infty, \infty)$으로 하면 확률이 어떻게 될까요? 모든 경우에 대한 확률의 합은 1이 되니까 1이 되겠죠! 확률밀도함수의 정의에 따라 다음 식도 성립해야합니다. $$\int_{-\infty}^{\infty} \lvert\psi(x)\rvert^2 dx =1 \tag{2}$$ 위 식이 성립할 때 파동함수가 normalization(정규화 or 규격화)되어있다고 말합니다. 파동함수는 슈뢰딩거방정식(미분방정식)의 해인데 보통 규격화가 되어있지 않은 상태로 얻어지죠. 반드시 normalization을 해주어야 파동함수의 절댓값의 제곱 $\lvert\psi\rvert^2$을 확률밀도함수로 해석할 수 있다는 것을 반드시 기억해주세요!
[Intuitive approach]
왜 파동함수의 절댓값의 제곱이 입자가 존재할 확률밀도로 해석할 수 있는 걸까요? 직관적으로 한번 접근해봅시다. 먼저 고전역학에서 "파동의 세기(시간당 에너지밀도:P)는 파동의 속력(v), 각진동수의 제곱($\omega^2$)과 진폭의 제곱($A^2$)에 비례한다"고 설명합니다. $$ P \propto v\omega^2A^2 $$ 이때 진동수와 파동의 속도에 관련된 항을 시간당 에너지의 이동과 관련된 것이라고 생각해보면 결국 진폭의 제곱은 어떤 밀도와 관련되어 있어야한다고 직관적으로 추측할 수 있지 않을까요?
양자역학에서는 물질파 이론에 따라 입자를 파동함수로 기술합니다. 파동함수 절댓값의 제곱$\lvert\psi\rvert^2$은 무엇이 될까요? 바로 진폭의 제곱입니다. 그런데 앞에서 진폭의 제곱은 어떤 밀도와 관련이 있다고 말했습니다. 바로 입자가 특정 지점에서 존재할 확률밀도가 되는 것이죠.
[Collapse of the wavefunction]
관측이라는 행위가 일어나면 파동함수 $\psi$는 붕괴됩니다. 예를 들어, electron의 위치를 관측하여 $x=x_0$에서 발견했다면 원래 파동함수가 붕괴되어 그 지점에서 디락델타함수 $\delta(x-x_0)$로 나타납니다. 이때 $\lvert\psi\rvert^2$ 역시 디락델타함수로 나타나겠죠. 즉, 관측 이전에 입자는 공간 위에 존재할 확률로 표현되다가 관측이라는 행위가 일어나면 그 위치에서 나타나는 것이죠. 그렇다면 '관측'이란 무엇인가? 관측 이전에 입자는 존재하지 않는 것인가? 라는 질문을 하실 수 있겠죠. 답은 "모른다"입니다. 최근 21세기 들어서 '관측'이라는 행위에 대한 재해석 및 수정이 가해졌고 관측 이전의 실재성을 설명하는 해석에는 '숨은 변수 이론', '다세계 해석' 등이 있지만 결국 이론 또는 가설에 불과하기 때문에 무엇이 정확히 맞다라고 단정지을 수 없는 상황입니다.
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