[Introduction]
양자역학의 공준에 대해 알아보기 전에 과연 공준(postulate)이 무엇을 의미하는지 부터 알고 가야할 것 같네요.
네이버 사전대로라면 공준은 공리와 같이 학문에서 "최초로 가정된 명제"로 증명이 불가능하고 공리와 다르게 "자명성이 없다"고 합니다. 공리는 일반적이고 공통적인 가정이라면 공준은 특정 분야(양자역학 같은..)에 적용되는 고유한 가정이라고 생각하시면 될 것 같습니다. 각설하고, 일단 양자역학의 공준에 어떤 것들이 있는지 한번 살펴보죠! (Atkins textbook을 기준으로 작성하였습니다. Mcquarrie는 덕지덕지 추가해놓아서 깔끔하지 않더라고요.)
[The Postulates of Quantum Mechanics]
[Link: additional explanation]
[#2: single-valued/continuous]
양자역학의 공준에 대해 알아보기 전에 과연 공준(postulate)이 무엇을 의미하는지 부터 알고 가야할 것 같네요.
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| 출처: 네이버 사전 |
네이버 사전대로라면 공준은 공리와 같이 학문에서 "최초로 가정된 명제"로 증명이 불가능하고 공리와 다르게 "자명성이 없다"고 합니다. 공리는 일반적이고 공통적인 가정이라면 공준은 특정 분야(양자역학 같은..)에 적용되는 고유한 가정이라고 생각하시면 될 것 같습니다. 각설하고, 일단 양자역학의 공준에 어떤 것들이 있는지 한번 살펴보죠! (Atkins textbook을 기준으로 작성하였습니다. Mcquarrie는 덕지덕지 추가해놓아서 깔끔하지 않더라고요.)
[The Postulates of Quantum Mechanics]
- The wavefunction: 파동함수는 계(system)의 모든 역학적 정보를 담고 있다. 즉, 파동함수를 알면 계가 어떤 상태인지를 알 수 있다! 이때 파동함수는 계의 슈뢰딩거 방정식를 푼 해이다.
- Well-behaved wavefunction: 파동함수는 single-valued function(일가함수) & continuous function(연속함수)이어야 한다. 편미분 함수 $\frac{\partial \Psi}{\partial x}, \frac{\partial \Psi}{\partial y}, \frac{\partial \Psi}{\partial z}$도 single-valued & continuous 해야 한다. 그리고, 마지막으로 normalizable해야 한다.
- Born interpretation: 보른 해석, 파동함수가 $ \Psi $가 주어졌을 때, $\lvert \Psi \rvert^2$ 는 확률밀도함수(probability density function)이다. 즉, 미소 부피 $d\tau$에서 입자가 발견될 확률은 $ \lvert \Psi\rvert^2 d\tau$이다.
- Observables: 관측 가능량, 고전역학에서 다뤘던 관측 가능한 물리량(위치, 운동량, 에너지 등)은 양자역학에서 연산자(operators)에 대응되며, 특히 이 관측 가능량에 대응하는 연산자들은 에르미트 연산자(Hermite operators)이다.
- The uncertainty principle: 불확정성 원리, 서로 가환적이지 않은(not commutative or complementary) observables 쌍은 동시에 정확하게 측정이 불가능하다. ex) 위치와 운동량 : $ \Delta x \Delta p_x \geq \hbar/2 $
[Link: additional explanation]
이것들은 양자역학의 기본적인 가정이기 때문에 설명할 것이 많지는 않습니다. 4번의 경우 제가 앞서 포스팅한 적이 있고, 3번과 5번은 할 예정이기 때문에 설명을 생략하고 추후 링크를 달겠습니다.
[#2: single-valued/continuous]
2번을 한번 살펴볼까요. single-valued function(일가함수)는 고등학교 때 배웠던 함수의 정의에 포함되는 내용입니다. "하나의 정의역 원소 x에 대응하는 공역 원소 y가 유일하다."
continuous function도 고등학교 때 배워서 다들 아실거라 믿고 생략하겠습니다.
어떤 위치 (x, y, z)에서 파동함수가 연속함수 및 일가함수가 아니라면 어떻게 될까요? 절댓값의 제곱인 확률밀도함수도 불연속하고 다가함수(multi-valued)이기 때문에 당연히 의미가 없겠죠! 특정 위치에서 전자가 존재할 확률이 연속하지 않거나 여러 개라면 아마 양자역학에서 큰 업적을 남긴 리처드 파인만도 아인슈타인과 같이 "신은 주사위놀이를 하지 않는다."란 드립을 쳤을 겁니다.
[#2: normalizable]
이건 3번과도 연결이 되는 부분인데 파동함수의 절댓값의 제곱이 확률밀도함수이기 때문에 이것을 전체 공간에 대해 적분했을 때 1이 되어야 합니다.(normalizable) 즉, 다음 식이 성립합니다.
$$ \int \lvert \psi \rvert^2 d \tau = 1 $$ 이 성질로 인해 1차원 파동함수는 x축 양 극한에서 다음과 같은 성질도 만족해야 합니다. (2, 3차원으로 확장 가능) $$ x\rightarrow \pm \infty이면, \ \psi(x) \rightarrow 0 $$ $$ x\rightarrow \pm \infty, \ y\rightarrow \pm \infty, \ z\rightarrow \pm \infty이면, \ \psi(x,y,z) \rightarrow 0 $$
[P.S.]
[#2: normalizable]
이건 3번과도 연결이 되는 부분인데 파동함수의 절댓값의 제곱이 확률밀도함수이기 때문에 이것을 전체 공간에 대해 적분했을 때 1이 되어야 합니다.(normalizable) 즉, 다음 식이 성립합니다.
$$ \int \lvert \psi \rvert^2 d \tau = 1 $$ 이 성질로 인해 1차원 파동함수는 x축 양 극한에서 다음과 같은 성질도 만족해야 합니다. (2, 3차원으로 확장 가능) $$ x\rightarrow \pm \infty이면, \ \psi(x) \rightarrow 0 $$ $$ x\rightarrow \pm \infty, \ y\rightarrow \pm \infty, \ z\rightarrow \pm \infty이면, \ \psi(x,y,z) \rightarrow 0 $$
[P.S.]
그리고, 추후 추가되는 내용을 약간 알려드리자면, wavefunction이 가져야하는 성질 중에 하나는 입자가 boson일 경우 symmetric, fermion일 경우 antisymmetric이어야 한다는 겁니다. multielectron atom/chemical bond 등의 chapter를 설명할 때 나올 예정이므로 자세한 설명은 그때 가서 하도록 하죠!
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