[Intro]
이전 포스팅에서 다뤘던 것은 non-degenerate system이었습니다. degenerate system에서 Hermitian operator의 eigenfunction은 어떤 성질이 있을까요?
[2-fold degenerate system]
가장 간단한 2-fold degenerate system을 생각해봅시다.
$$ \hat{\Omega}\Psi_{1}=\omega\Psi_{1} , \ \hat{\Omega}\Psi_{2}=\omega\Psi_{2} , \ (\ \omega_1 = \omega_2=\omega) $$ $$ \hat{\Omega} \ is \ an \ Hermitian \ operator $$ Hermitian operator의 정의에 따라 다음 수식을 따라가보죠.
$$ \int \Psi_{i}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{j}\,d\tau=\int (\Psi_{j}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{i})^*\,d\tau $$ $$ \int \Psi_{1}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{2}\, d\tau=\int \Psi_{1}^{*}\omega_{2}\Psi_{2}\, d\tau = \omega_{2}\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau $$ $$ (\int \Psi_{2}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{1}\, d\tau)^*=(\int \Psi_{2}^{*}\omega_{1}\Psi_{1}\, d\tau)^* = (\omega_{1}\int \Psi_{2}^{*}\Psi_{1}\, d\tau)^*=\omega_1\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau $$ $$ ( \because eigenvalues \ of \ an \ Hermitian \ operator \ are \ real) $$ $$ \therefore (\omega_1-\omega_2)\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau=0 $$ 이때 $ \omega_1=\omega_2=\omega $라는 초기 조건에 의해 $\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau$의 값이 0이 아니어도 상관이 없습니다. (orthogonal하지 않아도 되는거죠!)
그러나, 보통 orthonormal set을 다루는 것이 쉽기 때문에 우리는 degenerate system의 basis를 orthonormal하게 만들어주고 싶습니다. 다행히도 선형대수학에서 "모든 유한차원의 내적공간에는 orthonormal set이 존재한다"는 정리가 있으므로 이제 방법만 찾으면 되겠네요! 그 방법은 수리물리/화학수학/응용선형대수학/공업수학 등에서 배웠던 Gram-Schmidt orthogonalization이 되겠습니다. 기본 컨셉은 하나의 basis를 기준으로 자신에게 포함된 나머지 basis들의 성분들을 모두 내적 값으로 제거해주는 것입니다. $$ \Psi_{1}^{'}=\Psi_{1} $$ $$ \Psi_{2}^{'}=\Psi_{2}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1} $$ 여기서 $ \frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1} $ 은 $ \Psi_{2} $를 $ \Psi_{1} $에 projection시켜준 것입니다. $ \Psi_{2}$에 포함된 $ \Psi_{1}$ 성분의 크기는 $ \frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\quad\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle^{1/2}}$라고 표현할 수 있겠네요. 그리고, 마지막으로 자신의 크기로 나누어 주어 normalization시켜주면 orthonormal subset $ \left\{\Psi_{norm,1}^{'}, \Psi_{norm,2}^{'}\right\} $을 얻을 수 있습니다. $$\Psi_{norm,1}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{1}^{'}|\Psi_{1}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{1}^{'} $$ $$\Psi_{norm,2}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{2}^{'}|\Psi_{2}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{2}^{'} $$ 이 결과를 이용하여 orthonormal set에서 degenerate system의 eigenfunction subset만 떼어내어 Gram-schmidt orthogonalization시켜준 후 다시 eigenfunction set에 편입시켜주면 되는 거죠! 그런데 2-fold degenerate system만 존재하는 것은 아니니 일반화가 필요하겠죠? N-fold degenerate system으로 확장해봅시다.
[N-fold degenerate system]
N-fold degenerate system으로 일반화시키면 다음과 같습니다. $$ \Psi_{1}^{'}=\Psi_{1} $$ $$ \Psi_{2}^{'}=\Psi_{2}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1} $$ $$ \Psi_{3}^{'}=\Psi_{3}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{3} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1}-\frac{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{3} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{2} \right\rangle}\Psi_{2} $$ $$ \vdots $$ $$ \Psi_{N}^{'}=\Psi_{N}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{N} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1}-\frac{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{N} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{2} \right\rangle}\Psi_{2}- \cdots-\frac{\left\langle \Psi_{N-1}|\Psi_{N} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{N-1}|\Psi_{N-1} \right\rangle}\Psi_{N-1} $$
$$\Psi_{norm,1}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{1}^{'}|\Psi_{1}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{1}^{'} $$ $$\Psi_{norm,2}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{2}^{'}|\Psi_{2}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{2}^{'} $$ $$\vdots$$ $$\Psi_{norm,N}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{N}^{'}|\Psi_{N}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{N}^{'} $$
※오류를 발견하시거나 질문이 있으시면 댓글 남겨주세요! 감사합니다.
이전 포스팅에서 다뤘던 것은 non-degenerate system이었습니다. degenerate system에서 Hermitian operator의 eigenfunction은 어떤 성질이 있을까요?
[2-fold degenerate system]
가장 간단한 2-fold degenerate system을 생각해봅시다.
$$ \hat{\Omega}\Psi_{1}=\omega\Psi_{1} , \ \hat{\Omega}\Psi_{2}=\omega\Psi_{2} , \ (\ \omega_1 = \omega_2=\omega) $$ $$ \hat{\Omega} \ is \ an \ Hermitian \ operator $$ Hermitian operator의 정의에 따라 다음 수식을 따라가보죠.
$$ \int \Psi_{i}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{j}\,d\tau=\int (\Psi_{j}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{i})^*\,d\tau $$ $$ \int \Psi_{1}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{2}\, d\tau=\int \Psi_{1}^{*}\omega_{2}\Psi_{2}\, d\tau = \omega_{2}\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau $$ $$ (\int \Psi_{2}^{*}\hat{\Omega}\Psi_{1}\, d\tau)^*=(\int \Psi_{2}^{*}\omega_{1}\Psi_{1}\, d\tau)^* = (\omega_{1}\int \Psi_{2}^{*}\Psi_{1}\, d\tau)^*=\omega_1\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau $$ $$ ( \because eigenvalues \ of \ an \ Hermitian \ operator \ are \ real) $$ $$ \therefore (\omega_1-\omega_2)\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau=0 $$ 이때 $ \omega_1=\omega_2=\omega $라는 초기 조건에 의해 $\int \Psi_{1}^{*}\Psi_{2}\, d\tau$의 값이 0이 아니어도 상관이 없습니다. (orthogonal하지 않아도 되는거죠!)
그러나, 보통 orthonormal set을 다루는 것이 쉽기 때문에 우리는 degenerate system의 basis를 orthonormal하게 만들어주고 싶습니다. 다행히도 선형대수학에서 "모든 유한차원의 내적공간에는 orthonormal set이 존재한다"는 정리가 있으므로 이제 방법만 찾으면 되겠네요! 그 방법은 수리물리/화학수학/응용선형대수학/공업수학 등에서 배웠던 Gram-Schmidt orthogonalization이 되겠습니다. 기본 컨셉은 하나의 basis를 기준으로 자신에게 포함된 나머지 basis들의 성분들을 모두 내적 값으로 제거해주는 것입니다. $$ \Psi_{1}^{'}=\Psi_{1} $$ $$ \Psi_{2}^{'}=\Psi_{2}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1} $$ 여기서 $ \frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1} $ 은 $ \Psi_{2} $를 $ \Psi_{1} $에 projection시켜준 것입니다. $ \Psi_{2}$에 포함된 $ \Psi_{1}$ 성분의 크기는 $ \frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\quad\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle^{1/2}}$라고 표현할 수 있겠네요. 그리고, 마지막으로 자신의 크기로 나누어 주어 normalization시켜주면 orthonormal subset $ \left\{\Psi_{norm,1}^{'}, \Psi_{norm,2}^{'}\right\} $을 얻을 수 있습니다. $$\Psi_{norm,1}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{1}^{'}|\Psi_{1}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{1}^{'} $$ $$\Psi_{norm,2}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{2}^{'}|\Psi_{2}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{2}^{'} $$ 이 결과를 이용하여 orthonormal set에서 degenerate system의 eigenfunction subset만 떼어내어 Gram-schmidt orthogonalization시켜준 후 다시 eigenfunction set에 편입시켜주면 되는 거죠! 그런데 2-fold degenerate system만 존재하는 것은 아니니 일반화가 필요하겠죠? N-fold degenerate system으로 확장해봅시다.
[N-fold degenerate system]
N-fold degenerate system으로 일반화시키면 다음과 같습니다. $$ \Psi_{1}^{'}=\Psi_{1} $$ $$ \Psi_{2}^{'}=\Psi_{2}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{2} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1} $$ $$ \Psi_{3}^{'}=\Psi_{3}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{3} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1}-\frac{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{3} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{2} \right\rangle}\Psi_{2} $$ $$ \vdots $$ $$ \Psi_{N}^{'}=\Psi_{N}-\frac{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{N} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{1}|\Psi_{1} \right\rangle}\Psi_{1}-\frac{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{N} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{2}|\Psi_{2} \right\rangle}\Psi_{2}- \cdots-\frac{\left\langle \Psi_{N-1}|\Psi_{N} \right\rangle}{\left\langle \Psi_{N-1}|\Psi_{N-1} \right\rangle}\Psi_{N-1} $$
$$\Psi_{norm,1}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{1}^{'}|\Psi_{1}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{1}^{'} $$ $$\Psi_{norm,2}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{2}^{'}|\Psi_{2}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{2}^{'} $$ $$\vdots$$ $$\Psi_{norm,N}^{'} = \frac{1}{\left\langle \Psi_{N}^{'}|\Psi_{N}^{'} \right\rangle^{1/2}}\Psi_{N}^{'} $$
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