[브라-켓 표기법이란?]
브라-켓 표기법은 양자역학에서 양자 상태를 나타내는 표기법 중 하나입니다.
[브라 & 켓]
예상하셨는지 모르겠지만 우리가 다룰 것은 2가지입니다. 브라(bra)와 켓(ket).
이들은 각각 행 벡터와 열 벡터에 해당한다고 보시면 됩니다.
아니... 갑자기 왜 벡터가 거기서 나오냐고 하실 수도 있는데 우리가 배웠던 고유함수(eigenfunction)를 벡터에 대응시킬 수 있습니다. 조금 어렵지만 풀어서 말하면 고유함수들이 힐베르트 공간이라는 것을 이루는데 그 공간에서 고유함수는 벡터에 대응됩니다. 당연히 힐베르트 공간은 벡터 공간이 되고 내적에 대해서 정의가 되기 때문에 내적 공간이라고도 부릅니다. 더 자세한 것은 선형대수학이나 함수해석학을 공부하시면 됩니다.
벡터간의 내적은 우리가 알다시피 잘 정의되어 있기 때문에 고유함수를 벡터와 비슷한 표기법으로 나타내면 내적도 쉽게 표현할 수 있는데요.
만약 어떤 고유함수 집합(eigenfunction set)이 N차원 힐베르트 공간을 이루고 있다면 bra와 ket은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
브라(bra)로 표현
$$ \psi_a \ \rightarrow \ \left| \psi_a \right \rangle = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix} $$
$$ \psi_b \ \rightarrow \ \left| \psi_b \right \rangle = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_N \end{pmatrix} $$
위에서 표현된 bra를 ket으로 변환하면 다음과 같습니다.
켓(ket)으로 변환
$$ \psi_a\ \rightarrow \ \left\langle \psi_a \right| = \begin{pmatrix} a_1^* & a_2^* & a_3^* & \cdots & a_N^* \end{pmatrix} $$
$$ \psi_b \ \rightarrow \ \left\langle \psi_b \right| = \begin{pmatrix} b_1^* & b_2^* & b_3^* & \cdots & b_N^* \end{pmatrix} $$
[브라와 켓 사이의 관계]
따라서, 브라와 켓 사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$ complex \ transpose!! $$
$$ \left| \psi_a \right \rangle \leftrightarrow \left\langle \psi_a \right| $$
$$ \left| \psi_a \right \rangle = \left\langle \psi_a \right|^* $$
$$ \left\langle \psi_a \right| = \left| \psi_a \right \rangle^* $$
(※ complex transpose *는 켤레전치 또는 에르미트 수반입니다.)
[내적의 표현]
그렇다면 내적(inner product)은 어떻게 표현할 수 있을까요? 다음과 같습니다.
$$ \int\limits_{all \ space} \psi_b^* \psi_a \, d\tau = \left\langle \psi_b | \psi_a \right \rangle = (\left\langle \psi_a | \psi_b \right \rangle)^* = \begin{pmatrix} b_1^* & b_2^* & b_3^* & \cdots & b_N^* \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_N \end{pmatrix} $$
$$ = a_1b_1^* + a_2b_2^* + a_3b_3^* + \cdots + a_Nb_N^* $$
[연산자 A의 평균값 표현]
내적을 표현할 수 있으니 연산자(operator)의 평균값(mean value) 표현도 가능합니다.
$$ \int\limits_{all \ space} \psi_b^* \hat{A} \psi_a \, d\tau = \left\langle \psi_b | A | \psi_a \right \rangle = (\left\langle \psi_a |A^*| \psi_b \right \rangle)^* $$
위식과 관련하여 다음 식도 성립합니다.
$$ \int\limits_{all \ space} \psi_b^* \hat{A} \psi_a \, d\tau = \left\langle \psi_b |A \psi_a \right \rangle = \left\langle A^* \psi_b | \psi_a \right \rangle$$
ket쪽으로 갈때는 *가 붙는다고 생각하시면 편합니다.
[외적의 표현]
신기하게도 외적(outer product)도 있습니다. 외적의 표현은 학부 물리화학에서는 거의 다루지 않기 때문에 생략할게요. 밑의 식에 직접 벡터를 대입시켜보면 알겠지만 행렬이 나옵니다. 사실 이것은 연산자와 관련이 있는데 포스팅이 길어지기 때문에 이것은 따로 다루도록 하겠습니다.
$$ \left| \psi_a \right \rangle \left\langle \psi_b \right| = \ matrix??? $$
맛보기로 조금만 말씀드리면 선형대수학에서 행렬(matrix)의 고유벡터(eigenvector)와 고유치(eigenvalue)를 구하는 것은 대표적인 고유치 방정식(eigenvalue equation)인 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것은 해밀토니언이에 대응하는 행렬의 고유벡터(고유함수에 대응)와 고유치를 구하는 것과 같습니다.
※ 기초 선형대수학만 알면 위 식들의 증명은 그렇게 어렵지 않기 때문에 직접 증명하면서 연습해보시길 바라요.
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