[불확정성 원리]
불확정성 원리(uncertainty principle를 $ \Delta x \Delta p \ge h $라고 표현하기도 합니다만 이것은 예전에 하이젠베르크가 논문에서 불확정성 원리를 처음으로 언급했을 때의 부등식입니다.(수학적으로 정리가 안되었을 때) 보통 불확정성 원리라고 하면 다음과 같은 부등식이 주로 쓰입니다.
$$ \Delta x \Delta p \geq \hbar /2 $$
위치 측정의 불확정성과 운동량 측정의 불확정성을 곱한 값이 양수보다 같거나 크기때문에 두 가관측량(observables)을 동시에 정확하게 측정하는 것이 불가능 합니다. ($ \Delta x =0 \ and \ \Delta p=0 가 \ 불가능 $)
이것을 표준편차(standard deviation)를 도입하여 수학적으로 증명한 식이 다음과 같습니다.
$$ \sigma_x \sigma_p \geq \hbar /2 $$
사실 위 식은 예시에 불과하고, 두 가관측량(각각에 대응되는 에르미트 연산자)에 대해 일반화가 가능합니다. 즉, 이번 포스팅에서 우리가 증명하고 싶은 부등식은 다음과 같습니다.
에르미트 연산자 $\hat{A}$와 $\hat{B}$에 대하여, $ \sigma_a \sigma_b \geq \left| \frac{1}{2i} \left\langle[\hat{A},\hat{B}]\right\rangle \right| \tag{1}$
표준편차를 구해야하기 때문에 잠시 짚고 넘어가겠습니다. 통계학에서 변량 $x$에 대해 표준편차는 다음과 같습니다.
$$ \sigma = \sqrt{E[(x-\mu)^2]} = \sqrt{E(x^2)-E(x)^2} = \sqrt{E(x^2)-\mu^2} (\mu는 \ 평균값) $$
[증명]
편의를 위해 브라-켓 표기법(bra-ket notation)을 사용하겠습니다. 표준편차 구하는 법에 착안하여 다음과 같은 두 파동함수 f와 g를 생각해 봅시다. ($\hat{A}, \hat{B}$는 가관측량에 대응되는 에르미트 연산자)
$$ 임의의 \ \left| \psi \right\rangle 에 \ 대해 \ 평균값 \left\langle a \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{A} | \psi \right\rangle, \ 평균값 \left\langle b \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{B} | \psi \right\rangle이라고 \ 할 \ 때,$$
$$ \left| f \right\rangle = (\hat{A}-\left\langle a \right\rangle)\left| \psi \right\rangle, \ \left| g \right\rangle = (\hat{B}-\left\langle b \right\rangle)\left| \psi \right\rangle라고 \ 둡시다. $$
\sigma_a^2= \left\langle f | f \right\rangle = \left\langle \psi |(\hat{A}-\left\langle a \right\rangle)^2 | \psi \right\rangle =\left\langle \psi |\hat{A}^2-2\left\langle a \right\rangle \hat{A}+\left\langle a \right\rangle^2)| \psi \right\rangle
\\
=\left\langle \psi |\hat{A}^2| \psi \right\rangle-2\left\langle a \right\rangle^2+\left\langle a \right\rangle^2=\left\langle a^2 \right\rangle-\left\langle a \right\rangle^2
\\
\sigma_b^2= \left\langle g | g \right\rangle=\left\langle b^2 \right\rangle-\left\langle b \right\rangle^2 $$
이때 각각의 분산(variance)은 다음과 같이 계산됩니다.
$$\sigma_a^2= \left\langle f | f \right\rangle = \left\langle \psi |(\hat{A}-\left\langle a \right\rangle)^2 | \psi \right\rangle =\left\langle \psi |\hat{A}^2-2\left\langle a \right\rangle \hat{A}+\left\langle a \right\rangle^2)| \psi \right\rangle
\\
=\left\langle \psi |\hat{A}^2| \psi \right\rangle-2\left\langle a \right\rangle^2+\left\langle a \right\rangle^2=\left\langle a^2 \right\rangle-\left\langle a \right\rangle^2
\\
\sigma_b^2= \left\langle g | g \right\rangle=\left\langle b^2 \right\rangle-\left\langle b \right\rangle^2 $$
이제 두 개를 곱해서 코시-슈바르츠 부등식을 만들면 다음과 같습니다.
$$ \sigma_a^2 \sigma_b^2 =\left\langle f | f \right\rangle\left\langle g | g \right\rangle \geq |\left\langle f|g \right \rangle|^2 \tag{2}$$
이때 복소수 z=x+iy(x, y는 실수)에 대해 다음이 성립합니다.
$$ |z|^2=x^2+y^2\geq y^2=(\frac{1}{2i}(z-z^*))^2= -\frac{1}{4}(z-z^*)^2 $$
따라서 다음이 성립합니다.
$$ |\left\langle f|g \right \rangle|^2 \geq -\frac{1}{4}(\left\langle f | g \right\rangle-\left\langle g | f \right\rangle)^2 \tag{3}$$
(3)을 (2)에 대입하면 다음과 같은 부등식이 성립합니다.
$$\sigma_a^2 \sigma_b^2 \geq -\frac{1}{4}(\left\langle f | g \right\rangle-\left\langle g | f \right\rangle)^2 \tag{4}$$
괄호 안의 값을 계산해보죠.
$$ \left\langle f | g \right\rangle = \left\langle \psi | (\hat{A}-\left\langle a \right\rangle)(\hat{B}-\left\langle b \right\rangle) |\psi \right\rangle =\left\langle \psi | \hat{A}\hat{B}-\left\langle b \right\rangle \hat{A} - \left\langle a \right\rangle \hat{B} +\left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle |\psi \right\rangle\\
= \left\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \right\rangle-\left\langle b \right\rangle \left\langle \psi | \hat{A} |\psi \right\rangle - \left\langle a \right\rangle \left\langle \psi | \hat{B} |\psi\right\rangle +\left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \right\rangle - \left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle $$
같은 방법으로,
$$ \left\langle g | f \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{B}\hat{A} | \psi \right\rangle - \left\langle a \right\rangle \left\langle b \right\rangle $$
$$
\therefore \left\langle f | g \right\rangle - \left\langle g | f \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \right\rangle - \left\langle \psi | \hat{B}\hat{A} | \psi \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{A}\hat{B}- \hat{B}\hat{A}| \psi \right\rangle =\left\langle [\hat{A},\hat{B}] \right\rangle \tag{5}$$
\therefore \left\langle f | g \right\rangle - \left\langle g | f \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{A}\hat{B} | \psi \right\rangle - \left\langle \psi | \hat{B}\hat{A} | \psi \right\rangle = \left\langle \psi | \hat{A}\hat{B}- \hat{B}\hat{A}| \psi \right\rangle =\left\langle [\hat{A},\hat{B}] \right\rangle \tag{5}$$
(5)를 (4)에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$ \sigma_a^2 \sigma_b^2 \geq -\frac{1}{4}(\left\langle f | g \right\rangle-\left\langle g | f \right\rangle)^2 = -\frac{1}{4}\left\langle [\hat{A},\hat{B}] \right\rangle^2$$
$$ \sigma_a \sigma_b \geq \left| \frac{1}{2i} \left\langle [\hat{A},\hat{B}] \right\rangle \right| \tag{1}$$
(1)의 식을 얻었으므로 증명이 완료되었습니다.
[예시]
다음 에르미트 연산자 쌍과 교환자에 대해 다음이 성립합니다.
$$[\hat{X},\hat{P}_x]=i \hbar (위치와 \ 운동량) \tag{6}$$ $$[\hat{H}, \hat{T}]=i \hbar (에너지와 \ 시간) \tag{7}$$
$$[\hat{X},\hat{P}_x]=i \hbar (위치와 \ 운동량) \tag{6}$$ $$[\hat{H}, \hat{T}]=i \hbar (에너지와 \ 시간) \tag{7}$$
(6)과 (7)을 (1)에 대입하면 다음과 같은 불확정성 원리 부등식을 얻을 수 있습니다.
$$ \sigma_x \sigma_p \geq \left| \frac{1}{2i} * i\hbar \right|= \hbar /2 $$ $$ \sigma_E \sigma_t \geq \left| \frac{1}{2i} * i\hbar \right| = \hbar /2 $$
반면에 다음과 같이 두 가관측량이 가환적(commutative)일 경우, 불확정성원리가 성립하지 않습니다. 이 경우 두 표준편차의 값이 둘 다 0이 될 수 있으므로 두 관측량 모두 이론상 동시에 정확히 측정이 가능합니다.
$$ [\hat{L}^2,\hat{L}_z]=0 $$ $$ \sigma_{L^2} \sigma_{L_z} \geq 0 $$
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